스펙트럼 열

호몰로지 대수학에서 스펙트럼 열(spectrum列, 영어: spectral sequence)은 어떤 호몰로지 또는 코호몰로지에 대한 일련의 근사들을 나타내는 수학적 대상이다.

정의

어떤 아벨 범주 ${\mathcal {C}}$의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) $(p,q)\in \mathbb {Z} ^{2}$을 가진다고 하자. 이 경우, (코호몰로지) 스펙트럼 열 $E_{r}^{p,q}$는 다음과 같은 대상들로 이루어진다.

• 어떤 정수 $r_{0}\in \mathbb {Z}$
• 모든 $r\geq r_{0}$에 대하여, ${\mathcal {C}}$의 대상 $E_{r}^{p,q}$
• 공경계 사상 $d_{r}^{p,q}\colon E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q+1-r}$

이들은 다음을 만족시킨다.

• 모든 정수 $r\geq r_{0}$에 대하여, $d_{r}\circ d_{r}=0$이다.

$\cdots \to E_{r}^{p-2r,q-2+2r}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p-r,q-1+r}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p,q}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p+r,q+1-r}{\xrightarrow {d_{r}}}E_{r}^{p+2r,q+2-2r}\to \cdots$

• $H(E_{r}^{p,q})=\ker d_{r}^{p,q}/\operatorname {im} d_{r}^{p-r,q-1+r}\cong E_{r+1}^{p,q}$이다.

호몰로지 스펙트럼 열의 경우 대신 $E_{p,q}^{r}$로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상

$\partial _{r}\colon E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q-1+r}^{r}$

을 사용한다.

코호몰로지 스펙트럼 수열 $E_{2}^{p,q}$의 형상화

그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 $r$에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 $r_{0},r_{0}+1,\dots$인 "책"을 이루며, 책의 $r\geq r_{0}$번째 쪽에는 $(p,q)$에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.

수렴과 퇴화

스펙트럼 열 $E_{r}^{p,q}$이 주어졌다고 하자. 만약 각 $(p,q)$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 $r_{0}(p,q)$가 존재한다고 하자.

$d_{r}^{p-r,q+r+1}=0\qquad \forall r\geq r_{0}(p,q)$

$d_{r}^{p,q}=0\qquad \forall r\geq r_{0}(p,q)$

그렇다면, 주어진 $(p,q)$에 대하여 $E_{r}^{p,q}$는 충분히 큰 $r$에 대하여 같아진다. 이를 $E_{\infty }^{p,q}$라고 하고, $E_{r}^{p,q}$가 여과 지표(濾過指標, 영어: filtration index) $p$에 대하여 $E_{\infty }^{p,q}$로 수렴(收斂, 영어: converge, abut)한다고 한다. 이는 기호로 다음과 같이 적는다.

$E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}$

보통 $E_{\infty }^{p,q}$는 여과 $F^{\bullet }E_{\infty }^{n}$가 갖추어져 있는 대상 $E_{\infty }^{n}$으로부터 다음과 같이 얻어진다.

$E_{\infty }^{p,q}={\frac {F^{p}E_{\infty }^{p+q}}{F^{p+1}E_{\infty }^{p+q}}}$

이 경우 마찬가지로

$E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}$

로 표기한다.

스펙트럼 열 $E_{r}^{p,q}$이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 정수 $r_{0}$가 존재한다면, $E_{r}^{p,q}$가 $r_{0}$에서 퇴화(退化, 영어: degenerate)한다고 한다.

$d_{r}^{p,q}=0\qquad \forall p,q\in \mathbb {Z} ,\;r\geq r_{0}$

스펙트럼 열이 퇴화하는 것은 스펙트럼 열이 수렴하는 것보다 더 강한 조건이다.

제1 사분면 스펙트럼 열

제1 사분면 스펙트럼 열(第一四分面spectrum列, 영어: first-quadrant spectral sequence)는 다음 조건을 만족시키는 스펙트럼 열이다.

• 만약 $p<0$ 또는 $q<0$이라면 $E_{r}^{p,q}=0$

즉, 모든 쪽에서 성분이 오직 제1 사분면에서만 영 대상이 아닌 스펙트럼 열이다. 사실, $r$번째 쪽에서 성분이 제1 사분면에만 존재한다면 그 다음에 오는 모든 쪽에서 성분들은 제1 사분면에서만 존재하게 된다. 따라서, 이 조건은 첫 번째 쪽에서만 확인하면 된다.

제1 사분면 스펙트럼 열은 항상 수렴한다. 구체적으로, 제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열의 경우

$E_{\infty }^{p,q}=E_{\max\{p+1,q+2\}}^{p,q}$

이며, 호몰로지 스펙트럼 열의 경우 역시

$E_{p,q}^{\infty }=E_{p,q}^{\max\{p+1,q+2\}}$

이다.

코호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열

$E_{2}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p+q}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 셋째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.

$\left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E_{3}^{0,2}&E_{3}^{1,2}&E_{3}^{2,2}&E_{3}^{3,2}&\cdots \\E_{3}^{0,1}&E_{3}^{1,1}&E_{3}^{2,1}&E_{3}^{3,1}&\cdots \\E_{3}^{0,0}&E_{3}^{1,0}&E_{3}^{2,0}&E_{3}^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d_{2}^{0,2}&\ker d_{2}^{1,2}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,2}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,3}}}&{\tfrac {\ker d_{2}^{3,2}}{\operatorname {im} d_{2}^{1,3}}}&\cdots \\\ker d_{2}^{0,1}&\ker d_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,2}}}&{\tfrac {\ker d_{2}^{3,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{1,2}}}&\cdots \\E_{2}^{0,0}&E_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d_{2}^{1,1}&\cdots \end{matrix}}}\right.$

넷째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.

$\left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E_{4}^{0,2}&E_{4}^{1,2}&E_{4}^{2,2}&E_{4}^{3,2}&\cdots \\E_{4}^{0,1}&E_{4}^{1,1}&E_{4}^{2,1}&E_{4}^{3,1}&\cdots \\E_{4}^{0,0}&E_{4}^{1,0}&E_{4}^{2,0}&E_{4}^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d_{3}^{0,2}&\ker d_{3}^{1,2}&\ker d_{3}^{2,2}&{\tfrac {\ker d_{3}^{3,2}}{\operatorname {im} d_{3}^{0,4}}}&\cdots \\\ker d_{2}^{0,1}&\ker d_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,2}}}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,3}&\cdots \\E_{2}^{0,0}&E_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,2}&\cdots \end{matrix}}}\right.$

즉, 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 성분들로 수렴한다.

$\left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\E_{\infty }^{0,2}&E_{\infty }^{1,2}&E_{\infty }^{2,2}&E_{\infty }^{3,2}&\cdots \\E_{\infty }^{0,1}&E_{\infty }^{1,1}&E_{\infty }^{2,1}&E_{\infty }^{3,1}&\cdots \\E_{\infty }^{0,0}&E_{\infty }^{1,0}&E_{\infty }^{2,0}&E_{\infty }^{3,0}&\cdots \end{matrix}}}\right.\qquad =\qquad \left|{\underline {\begin{matrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\ker d_{3}^{0,2}&\ker d_{3}^{1,2}&\ker d_{3}^{2,2}&{\tfrac {\ker d_{3}^{3,2}}{\operatorname {im} d_{3}^{0,4}}}&\cdots \\\ker d_{2}^{0,1}&\ker d_{2}^{1,1}&{\tfrac {\ker d_{2}^{2,1}}{\operatorname {im} d_{2}^{0,2}}}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,3}&\cdots \\E_{2}^{0,0}&E_{2}^{1,0}&\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}&\operatorname {coker} d_{3}^{0,2}&\cdots \end{matrix}}}\right.$

수렴한 성분들이 $E_{\infty }^{\bullet }$의 여과에 의하여 주어진다고 하자.

$E_{\infty }^{p,q}={\frac {F^{p}E_{\infty }^{p+q}}{F^{p+1}E_{\infty }^{p+q}}}$

그렇다면 다음이 성립한다.

$E_{2}^{1,0}\cong E_{\infty }^{1,0}={\frac {F^{1}E_{\infty }^{1}}{F^{2}E_{\infty }^{1}}}=F^{1}E_{\infty }^{1}$

$\ker d_{2}^{0,1}\cong E_{\infty }^{0,2}={\frac {F^{0}E_{\infty }^{1}}{F^{1}E_{\infty }^{1}}}={\frac {E_{\infty }^{1}}{F^{1}E_{\infty }^{1}}}$

$\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}\cong E_{\infty }^{2,0}={\frac {F^{2}E_{\infty }^{2}}{F^{3}E_{\infty }^{2}}}=F^{2}E_{\infty }^{2}$

따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.

$0\to E_{2}^{1,0}\cong F^{1}E_{\infty }^{1}\hookrightarrow E_{\infty }^{1}\to {\frac {E_{\infty }^{1}}{F^{1}E_{\infty }^{1}}}\cong \ker d_{2}^{0,1}\hookrightarrow E_{2}^{0,1}{\xrightarrow {d_{2}^{0,1}}}E_{2}^{2,0}\twoheadrightarrow \operatorname {coker} d_{2}^{0,1}\cong F^{2}E_{\infty }^{2}\hookrightarrow E_{\infty }^{2}$

여기서 $\ker d_{2}^{0,1}$와 $\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}$을 생략하면, 다음과 같은 완전열을 얻는다.

$0\to E_{2}^{1,0}\to E_{\infty }^{1}\to E_{2}^{0,1}{\xrightarrow {d_{2}^{0,1}}}E_{2}^{2,0}\to E_{\infty }^{2}$

이를 5항 완전열(五項完全列, 영어: five-term exact sequence)이라고 한다.

호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

마찬가지로, 수렴하는 제1 사분면 호몰로지 스펙트럼 열

$E_{p,q}^{2}\Rightarrow _{p}E_{p+q}^{\infty }$

이 주어졌다고 하고, 수렴한 성분들이 $E_{\bullet }^{\infty }$의 여과에 의하여 주어진다고 하자.

$E_{p,q}^{\infty }={\frac {F_{p}E_{p+q}^{\infty }}{F_{p-1}E_{p+q}^{\infty }}}$

그렇다면, 스펙트럼 열의 처음 몇 성분은 다음과 같다.

$E_{1,0}^{2}\cong E_{1,0}^{\infty }={\frac {F_{1}E_{1}^{\infty }}{F_{0}E_{1}^{\infty }}}={\frac {E_{1}^{\infty }}{F_{0}E_{1}^{\infty }}}$

$\ker \partial _{2,0}^{2}\cong E_{2,0}^{\infty }={\frac {F_{2}E_{2}^{\infty }}{F_{1}E_{2}^{\infty }}}={\frac {E_{2}^{\infty }}{F_{1}E_{2}^{\infty }}}$

$\operatorname {coker} \partial _{2,0}^{2}\cong E_{0,1}^{\infty }={\frac {F_{0}E_{\infty }^{2}}{F_{-1}E_{\infty }^{2}}}=F_{0}E_{\infty }^{2}$

이따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.

$E_{2}^{\infty }\twoheadrightarrow {\frac {E_{2}^{\infty }}{F_{1}E_{2}^{\infty }}}\cong \ker \partial _{2,0}^{2}\hookrightarrow E_{2,0}^{2}{\xrightarrow {\partial _{2,0}^{2}}}E_{0,1}^{2}\twoheadrightarrow \operatorname {coker} \partial _{2,0}^{2}\cong F_{0}E_{1}^{\infty }\hookrightarrow E_{1}^{\infty }\twoheadrightarrow {\frac {E_{1}^{\infty }}{F_{0}E_{1}^{\infty }}}\cong E_{1,0}^{2}\to 0$

여기서 $\ker \partial _{2,0}^{2}$와 $\operatorname {coker} \partial _{2,0}^{2}$을 생략하면, 다음과 같은 5항 완전열을 얻는다.

$E_{2}^{\infty }\to E_{2,0}^{2}{\xrightarrow {\partial _{2,0}^{2}}}E_{0,1}^{2}\to E_{1}^{\infty }\to E_{1,0}^{2}\to 0$

구성

스펙트럼 열은 보통 완전쌍이나 사슬 복합체의 여과로부터 발생한다.

완전쌍

어떤 아벨 범주 속에서의 완전쌍(完全雙, 영어: exact couple) $(A,E,f,g,h)$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 두 개의 대상 $A$, $E$
• 사상 $A{\xrightarrow {f}}A{\xrightarrow {g}}E{\xrightarrow {h}}A$

이들은

$\operatorname {im} f=\ker g$

$\operatorname {im} g=\ker h$

$\operatorname {im} h=\ker f$

를 만족시켜야 한다. 즉, 다음 그림이 완전열을 이룬다.

${\begin{matrix}A\qquad &{\xrightarrow {f}}&\qquad A\\{\scriptstyle h}\nwarrow &&\swarrow \scriptstyle g\\&E\end{matrix}}$

완전쌍 $(A,E,f,g,h)$의 유도 완전쌍(誘導完全雙, 영어: derived exact couple) $(A',E',f',g',h')$은 다음과 같은 완전쌍이다.

• $d=g\circ h$
• $A'=\operatorname {im} f$
• $E'=\ker d/\operatorname {im} d$
• $f'=f|_{A}\colon A'\to A'$
• $g'\colon A'\to E'$는 (모든 아벨 범주는 구체적 범주로 나타낼 수 있으므로) $g'\colon a'\mapsto g(f^{-1}(a'))$이다. 이 경우, $f^{-1}(a')$의 선택이 상관없음을 보일 수 있다.
• $h'\colon E'\to A'$는 $h\colon C\to A$에 의하여 유도된다. 즉, $h\colon [e]\mapsto h(e)$이다. 이 경우, $g(h(e))=0$이므로 항상 $g(h(e))=f(a)$인 $a\in A$가 존재하며, 따라서 $h(e)\in f(A)=A'$이다.

이를 반복하여, $n$차 유도 완전쌍 $(A^{(n)},E^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})$을 정의할 수 있다. 그렇다면,

$E^{(0)}{\stackrel {d}{\Rightarrow }}E^{(1)}{\stackrel {d^{(1)}}{\Rightarrow }}E^{(2)}\Rightarrow \cdots$

는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통, $A$ 및 $C$는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다.

여과 복합체의 스펙트럼 열

사슬 복합체 $(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$에 증가하는 여과 $F_{\bullet }(C_{\bullet })$가 주어졌다고 하자. 즉,

$F_{p}C_{\bullet }\subseteq F_{p+1}C_{\bullet }$

라고 하자. 또한, 경계 $\partial$가 여과와 호환된다고 하자. 즉,

$\partial (F_{p}C_{n})\subseteq \partial (F_{p}C_{n+1})$

이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다.

${\begin{matrix}&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(F_{p-1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(F_{p-1}C^{\bullet }/F_{p-2}C^{\bullet })&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(F_{p+1}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(F_{p+1}C^{\bullet }/F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(F_{p}C^{\bullet })&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}$

여기에

$A=\bigoplus _{p,q}H_{q}(F_{p}C^{\bullet })$

$E=\bigoplus _{p,q}H_{q}(F_{p}C^{\bullet }/F_{p-1}C^{\bullet })$

를 정의한다면,

• $f\colon A\to A$
• $g\colon A\to E$
• $h\colon E\to A$

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다.

예

$X$가 CW 복합체이며, $X_{p}$가 그 $p$차원 뼈대라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다.

${\begin{matrix}&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(X_{p})&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(X_{p},X_{p-1})&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(X_{p-1})&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(X_{p-1},X_{p-2})&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\\cdots \to &H_{n+1}(X_{p+1})&{\xrightarrow {g}}&H_{n+1}(X_{p+1},X_{p})&{\xrightarrow {h}}&H_{n}(X_{p})&{\xrightarrow {g}}&H_{n}(X_{p},X_{p-1})&\to \cdots \\&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f&&\downarrow \\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}$

이에 따라,

$A=\bigoplus _{p,q}H_{q}(X_{p})$

$E=\bigoplus _{p,q}H_{q}(X_{p},X_{p-1})$

로 놓으면,

• $f\colon A\to A$
• $g\colon A\to E$
• $h\colon E\to A$

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은 $E_{p,q}^{2}$에서 끝난다. 이를 통해, 세포 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 동형임을 보일 수 있다.

역사

장 르레가 1946년 층 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다. 이는 오늘날 르레 스펙트럼 열로 불리며, 유도 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.

르레는 원래 "스펙트럼 열"이라는 용어를 사용하지 않았으나, 1949년 논문에서 최초로 "스펙트럼 환"(프랑스어: anneau spectral)라는 용어를 사용하였고, 이듬해 장피에르 세르가 이를 "스펙트럼 열"(프랑스어: suite spectrale)으로 개량하였다. 존 매클리어리(영어: John McCleary)에 따르면, 아마 이 이름은 스펙트럼 열의 각 성분을 어떤 미분 연산자의 스펙트럼을 구성하는 고윳값에 비유하여 붙인 것이라고 한다. 라비 바킬(영어: Ravi Vakil)은 스펙트럼 열(영어: spectral sequence 스펙트럴 시퀀스^[*])이 이런 이름이 붙은 것은 마치 귀신(영어: specter 스펙터^[*])처럼 "무시무시하고 사악하고 위험한"(영어: terrifying, evil, and dangerous) 대상이기 때문이라고 농으로 비유하였다.

1952년에 윌리엄 슈마허 매시(영어: William Schumacher Massey)는 스펙트럼 열을 정의하는 완전쌍의 개념을 발견하였다. 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 층 코호몰로지의 르레 스펙트럼 열과 군 코호몰로지의 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 그로텐디크 스펙트럼 열로 일반화하였다.

곧 애덤스 스펙트럼 열(영어: Adams spectral sequence), 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열(Atiyah–Hirzebruch spectral sequence), 복시테인 스펙트럼 열 등 스펙트럼 열의 수많은 예들이 발견되었다.

각주

• McCleary, John (2001). 《A user’s guide to spectral sequences》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 58 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626289. ISBN 978-0-52156141-9. MR 1793722. Zbl 0959.55001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• McCleary, John (1999). 〈A history of spectral sequences: origins to 1953〉. 《History of topology》 (영어). North-Holland. 631–663쪽. doi:10.1016/B978-044482375-5/50024-9. ISBN 978-0-444-82375-5. MR 1721118. Zbl 0956.55003. 
• Mitchell, Barry (1969년 6월). “Spectral sequences for the layman”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 76 (6): 599–605. doi:10.2307/2316659. ISSN 0002-9890. JSTOR 2316659. Zbl 0181.03102. 

외부 링크

• Renze, John. “Spectral sequence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Spectral sequence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Exact couple”. 《nLab》 (영어). 
• “Spectral sequence of a filtered complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Spectral sequence of a double complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Frölicher spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Hodge–de Rham spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Degeneration of Hodge to de Rham spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Simple examples for the use of spectral sequences” (영어). Math Overflow. 
• “Introductory book on spectral sequences” (영어). Math Overflow. 
• Shulman, Mike (2013년 8월 4일). “What is a spectral sequence?”. 《The n-Category Café》 (영어). 
• Shulman, Mike (2013년 8월 8일). “Spectral sequences”. 《Homotopy Type Theory》 (영어).